算法-爬楼梯

题目

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：

输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶
2.  2 阶

示例 2：

输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2.  1 阶 + 2 阶
3.  2 阶 + 1 阶

解答

用 f(x)f(x) 表示爬到第 xx 级台阶的方案数，考虑最后一步可能跨了一级台阶，也可能跨了两级台阶，所以我们可以列出如下式子：
f(x) = f(x - 1) + f(x - 2)
它意味着爬到第 xx 级台阶的方案数是爬到第 x - 1级台阶的方案数和爬到第 x - 2x级台阶的方案数的和。很好理解，因为每次只能爬 11 级或 22 级，所以 f(x)只能从 f(x - 1) 和 f(x - 2)转移过来，而这里要统计方案总数，我们就需要对这两项的贡献求和。

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var climbStairs = function(n) {
    let p = 0, q = 0, r = 1;
    for (let i = 1; i <= n; ++i) {
        p = q;
        q = r;
        r = p + q;
    }
    return r;
};

//递归写法

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var climbStairs = function(n) {
    //实现f（x）= f(x-1)+f(x-2);
    // 优化效率，可以记住已算过的数据，直接返回；
    if(n == 1){
        return 1;
    }else if(n == 2 ){
        return 2;
    }else{
        return climbStairs(n-1)+climbStairs(n-2);
    }
};

复杂度分析

时间复杂度：循环执行 n 次，每次花费常数的时间代价，故渐进时间复杂度为 O(n)。
空间复杂度：这里只用了常数个变量作为辅助空间，故渐进空间复杂度为 O(1)。